표본 (sample), 확률(probability)

표본 (probabilistic sample, random sample, sample)

풀고자 하는 확률적 문제에서 발생할수 있는 하나의 현상 혹은 선택된 하나의 경우

 

표본공간 (sample space) > Ω 표시

가능한 모든 표본의 집합
실험의 결과 하나하나를 모두 모은것
표본공간을 S 조사대상이 된 집단의 총합을 모집단 Ω로 표시
표본공간에서 임의의 집단을 사건(EVENT)

한 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합

 

표본공간의 정의

어떤 표본(경우, 현상)이 가능하고 어떤 표본이 가능하지 않은가를 정의하는 작업

 

 

 

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공리 (axiom)

수학에서 증명을 하지 않기로 약속한 명제
당연한것으로 가정을 하는 명제

 

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확률

사건(부분집합)을 입력하면 숫자(확률값)이 출력되는 함수
모든 사건에대하 확률은 실수, 0 또는 양수
표본공간(전체 집합)이라는 사건(부분집합)에 대한 확률은 1
표본공간에 모든 사건을 합친 것의 확률 = 표본공간의 모든 사건의 확률의 합

(1) 임의의 사건 A에 대해 확률 P(A)는 0 ≤ P(A) ≤1입니다.

(2) 반드시 일어나는 사건 S에 대해 확률 P(S) = 1입니다.

(3) 절대로 일어나지 않는 사건 ø에 대해 P(ø) = 0입니다.

 

확률의 종류

이론적 확률 (수학적 확률)
     - 누구라도 동일한 값으로 계산되는 엄밀한 확률
        -> 수학적으로 정의됨

객관적 확률 (통계적 확률, 상대빈도 확률, 경험적 확률)
     - 동일 조건/독립적으로 몇번 반복하였을 때의 발생 확률
       -> 도수 이론(frequency theory)
     - 반복된 실험에 기초한 `상대 빈도` 발생에 기반을 둠
     - 대수의 법칙

주관적 확률 - 베이지안 관점
     - 관찰자의 주관적 믿음/확신으로써 표현되는 확률
       -> 주관적 견해(subjective view)        

베이즈 확률
     - 모집단을 미리 확정짓지 않고, 모수를 마치 확률변수 처럼 취급            

대수의 법칙

시행이 많아질수록 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워짐

 

확률적 데이터와 확률 변수

결정론적 데이터 (deterministic data)
    생년월일처럼 한 번 물어보면 더이상 물어볼 필요가 없는 데이터
    -> 변하지 않는 데이터
    -> 항상 같은 값이 나오는 데이터

확률적 데이터 (random data, probabilistic data, stochastic data)
    혈압, 체온처럼 환자가 내원할 때마다 물어보게 되는 데이터
    -> 매번 변하는 데이터
    -> 정확히 예측할 수 없는 값이 나오는 데이터
    -> 부분의 데이터는 확률적 데이터
    * 우리가 다루게 되는 대부분의 데이터는 확률적 데이터 *

분포 (distribution)
    확률적 데이터에서 어떠한 값이 자주 나오고 어떠한 값이 드물게 나오는가를 나타내는 정보
    범주형 데이터 -> (남,여)(학년) -> 카운트 플롯(count plot)
    실수형 데이터 -> (실수형 숫자) -> 히스토그램(histogram)

 

모집단 -> 표본공간 -> 확률변수 -> 실수 -> 확률분포 -> 확률 -> 확률의 검증, 테스트

 

확률 변수

확률공간의 표본을 입력으로 받아서 실수인 숫자로 바꾸어 출력하는 함수
실험 -> 동작 -> 동작을 통한 실수 값
동작을 확률 메커니즘
확률 변수는 확률 실험의 결과에 하나의 실수를 부여하는 함수

 

이산확률변수 (discrete random variable)

이산 : 연속적이지 않다  DRV
확률변수값이 연속적(continuous)이지 않고 떨어져(discrete) 있도록 정의할 수 있다면 -> 이산확률변수

표본공간의 원소의 개수가 무한대인 경우

 

연속확률변수 (continuous random variable)

연속적이고 무한대의 실수 표본값을 가지는 확률변수를 연속확률변수
CRV

실수 -> 밀도의 합 ( 특정 구간의 합 -> 면적 ) -> 적분
촘촘히 이어져 있는 모든 구간의 합

 

확률변수의 기댓값 -> 평균(mean)

이론적 평균을 확률변수의 기댓값(expectation)
이산확률변수의 기댓값은 표본공간의 원소 xi의 가중평균

가중치는 xi가 나올 수 있는 확률 즉 확률질량함수 p(xi)

 

표본평균

일반적으로 부르는 평균(mean, average)의 정확한 명칭은 표본평균(sample mean, sample average)
모든 데이터의 합을 N 으로 나눈값

표본평균은 확률변수의 기댓값 근처의 값

표본중앙값

전체 자료를 크기별로 정렬했을 때 가장 중앙에 위치하는 값
결측치 처리와 비슷함
평균 값과는 다르다

확률변수의 중앙값(median)은 중앙값보다 큰 값이 나올 확률과 작은 값이 나올 확률이 0.5로 같은 값

표본최빈값

데이터값 중 가장 빈번하게 나오는 값

연속확률분포의 최빈값(mode)은 확률밀도함수 p(x)

의 값이 가장 큰 확률변수의 값